Haciendo una analogía, una función matemática es como una máquina a la que le entra una cosa y le sale otra. Lo que sale está en “función” de lo que entra. Tomemos como ejemplo una licuadora. Si a una licuadora le metes tomates, chiles, cebolla, cilantro y la pones a “funcionar”, tendrás como resultado una salsa mexicana. Pero si le metes leche, chocolate, azúcar y la pones a “funcionar”, tendrás un batido de chocolate (no olvides lavar la licuadora entre un ejemplo y otro jajaja).
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Como puedes ver, lo que obtienes como resultado está en función de lo que entra a la función. En este ejemplo, lo que obtienes está en función de lo que entra a la licuadora.
La típica forma de escribir una función matemática es f(x) y se dice “Efe de equis”.
[latex size=4 color=000000 background=ffffff]f\left( x \right)=y[/latex]
Todas las funciones f(x) siempre serán iguales a y, ya que el resultado que te arroje la función siempre será el valor de y. Por lo tanto se omite la parte “=y”. Por ejemplo:
[latex size=4 color=000000 background=ffffff]f\left( x \right)=x=y[/latex]
la parte “=y” no es necesario escribirla porque siempre será igual a y. Entonces quedaría así:
[latex size=4 color=000000 background=ffffff]f\left( x \right)=x[/latex]
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En esta función lo que le pongas de valor a la x será el mismo valor que obtendrás como resultado de la función; es decir, en el valor de y. Si graficamos esta función, tendremos una línea recta diagonal. Cada valor que le des a x será el mismo valor que obtendrás para y. 
Tomemos ahora el siguiente ejemplo:
[latex size=4 color=000000 background=ffffff]f\left( x \right)=3[/latex]
Esta expresión nos dice que sin importar el valor que le des a la x, siempre tendrás como resultado el valor de 3. Si graficamos esta función, tendremos una línea recta horizontal a la altura del valor 3 en el eje y. 
Tomemos la siguiente función como último ejemplo: [latex size=4 color=000000 background=ffffff]f\left( x \right) ={ x }^{ 2 }[/latex]
Cualquier valor que se le asigne a x será elevado al cuadrado y la gráfica quedaría así:
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Tipos de funciones
Existen tres tipos de funciones:
- Inyectivas
- Sobreyectivas
- Biyectivas
Para explicar los diferentes tipos de funciones de una manera más sencilla, vamos a hacerlo gráficamente. Si trazas líneas horizontales sobre la gráfica de la función y no encuentras puntos en los que las líneas la crucen más de una vez más de una vez, entonces es una función inyectiva. Por ejemplo, la función [latex]f\left( x \right)=x[/latex] es inyectiva, tal como lo puedes ver en la siguiente gráfica:
La función [latex]f\left( x \right) ={ x }^{ 2 }[/latex] no es inyectiva, tal como lo podemos ver en esta gráfica:
Si la función abarca todo el eje y, entonces es sobreyectiva, como sucede en el caso de la función [latex]f\left( x \right)=x[/latex]
La función [latex]f\left( x \right) ={ x }^{ 2 }[/latex] no es sobreyectiva debido a que la función solamente existe en la parte positiva del eje y; es decir desde cero hacia ariba. Por último, para que una función sea biyectiva, debe ser inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo. Por ejemplo, la función [latex]f\left( x \right)={ x }[/latex] es biyectiva porque es inyectiva (las flechas nunca cruzan la función en más de un punto) y además es sobreyectiva (su gráfica abarca todo el eje y).
