Cómo saber si un número es primo

Saber si un número es primo puede ser todo un desafío matemático. En el lenguaje de la artimética, al procedimiento para averiguar si un número es un entero compuesto o si solo tiene como divisores al 1 y a él mismo, se le denomina “prueba de primalidad”.
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Hay diferentes maneras de realizar una de estas pruebas, y mientras más pequeño sea el número del que se intenta averiguar la primalidad, más efectivos y sencillos resultan los cálculos.

Cómo saber si un número es primo

Cómo saber si un número es primo

Por desgracia, no siempre nos enfrentamos a números pequeños, así que aquí te preparamos para averiguar si un número es primo en escenarios sencillos y también en los complicados.

Pasos

  1. El único cálculo que puedes hacer a mano y que es 100% efectivo para saber si un número es primo, consiste en dividirlo entre números primos desde el 2 en adelante, hasta que el residuo sea 0 o bien hasta que el resultado sea igual o mayor que el divisor.
  • Veamos un ejemplo: saber si 173 es primo.
  • Comenzamos por dividir 173/2 = 86 y sobra 1.
  • 173/3 = 57 y sobran 2.
  • 173/5 = 34 y sobran 3.
  • 173/7 = 24 y sobran 5.
  • 173/11 = 15 y sobran 8.
  • 173/13 = 13 y sobran 4.
  • Podemos concluir que 173 es primo porque lo intentamos dividir entre todos los primos posibles hasta que el resultado fuera igual o mayor que el divisor (en este caso el resultado 13 se conjugó con el divisor 13), y en ninguno de esos pasos se encontró un divisor exacto con residuo 0.

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  1. Un cálculo que puedes hacer con ayuda de una calculadora muy potente para averiguar si un número muy grande es primo, es usar una aplicación del teorema de Wilson, según el cual un número ‘n’ es primo si y sólo si (n-1)! es congruente con -1 (mod n).
  • Ser congruente con -1 (mod n) significa que si divides el resultado de (n-1)! entre ‘n’, el residuo será n-1 o bien un múltiplo de n, menos 1.
  • (n-1)! significa sacar el factorial de n-1, es decir, el resultado de su multiplicación por todos los enteros menores a él.
  • Veamos un ejemplo con un número pequeño para tenerlo todo más claro. Queremos saber si 29 es primo, así que sustituimos los valores de la congruencia: (29-1)! es congruente con -1 (mod 29). Observamos que 28! = 304888344611713860501504000000 y esa cantidad dividida entre 29 da como resultado 28. Por tanto, es con -1 (mod) 29, y podemos concluir que el número 29 es primo.
  1. Finalmente, si necesitas averiguar si un número muy grande es primo, y no cuentas con una calculadora potente para hacer la prueba que de primalidad que te acabamos de describir, puedes investigar sobre el pequeño teorema de Fermat. Según una de sus aplicaciones, si tienes un número ‘p’ al cual deseas hacer la prueba de primalidad, y un número ‘a’ que es primo y no es un divisor de ‘p’, al resolver ap-1 tienes que es congruente con 1 (mod p).
  • Ser congruente con 1 (mod p) significa que si divides el resultado de ap-1 entre ‘p’, el residuo debe ser igual a 1. Sin embargo para poder hacer esa división, necesitarás tener conocimiento avanzados de aritmética para factorizar la potencia p-1 y hacer la división con números más pequeños, ya que una calculadora no te ayudará a obtener potencias tan grandes.

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  1. Si no necesitas presentar tu procedimiento por escrito, también te puede ayudar visitar esta calculadora en línea de números primos, donde sólo tienes que pulsar el botón de ‘Calcular’ para saber si el número que introdujiste es primo o no lo es.

Autor: Oscar Avila

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